Question

（理科）已知圓C：x²+y²=1和點Q（2，0），動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數λ（λ＞0），求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？

Answer 1

考點：曲線與方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：設點M的坐標為（x，y），欲求動點M的軌跡方程，即尋找x，y間的關系式，結合題中條件列式化簡即可得；最后對參數λ分類討論看方程表示什么曲線即可．

解答： 解：如圖，設MN切圓于N，則動點M組成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常數λ＞0．因為圓的半徑|ON|=1，所以|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1．
設點M的坐標為（x，y），則

x2+y2-1

=λ

(x-2)2+y2

整理得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
經檢驗，坐標適合這個方程的點都屬于集合P．故這個方程為所求的軌跡方程．
當λ=1時，方程化為x=

5

4

，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點（

5

4

，0），
當λ≠1時，方程化為（x-

2λ2

λ2-1

）²+y²=

1+3λ2

(λ2-1)2

它表示圓，該圓圓心的坐標為（

2λ2

λ2-1

，0），半徑為

1+3λ2

|λ2-1|

．

點評：本小題考查曲線與方程的關系，軌跡的概念，考查直線與圓的位置關系．直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．