（1）已知a，b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，證明：
a+b
2
≥
ab
，并指出等號(hào)成立的條件．
（2）設(shè)a是正實(shí)數(shù)，利用（1）的結(jié)論求復(fù)數(shù)z=
3a
+（
1
a
-
a
）i模的最小值．
考點(diǎn)：不等式的證明,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
專(zhuān)題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)
分析：（1）運(yùn)用分析法證明，注意解題步驟，指出等號(hào)成立的條件；
（2）由復(fù)數(shù)模的公式求出模，再由基本不等式求出最小值，指出等號(hào)成立的條件．
解答： （1）證明：要證
a+b
2
≥
ab
，由題設(shè)，因a+b＞0，
ab
＞0，
只需證（a+b）2≥4ab，
只要證a2-2ab+b2≥0，
只要證（a-b）2≥0此式成立．
故原不等式成立．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立．
（2）解：|z|=
(
3a
)2+(
1
a
-
a
)2
=
4a+
1
a
-2

≥
2(
4a•
1
a
)-2
=
2
，
當(dāng)4a=
1
a
⇒a=
1
2
（負(fù)舍）時(shí)，
|z|的最小值是
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的證明及運(yùn)用：求最值，注意等號(hào)成立的條件，同時(shí)考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x
x2-1
．
（1）求f[f（
1
2
）]；
（2）判斷并證明f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax4+bx2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x-2．求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是p=2sinθ，直線l的參數(shù)方程是
x=-
3
5
t+2
y=
4
5
t
（t為參數(shù)），設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)是M，N是曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，
（1）求曲線C與直線的普通方程；
（2）求|MN|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

6本不同的書(shū)，按照以下要求處理，各有幾種分法？
（1）甲得一本，乙得兩本，丙得三本；
（2）一人得一本，一人得兩本，一人得三本；
（4）平均分給甲、乙、丙三人，每人兩本．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=loga（1-x），g（x）=loga（1+x），其中a＞0，且a≠1．
（1）判斷f（x）+g（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）-g（x）的單調(diào)性，并證明；
（3）設(shè)命題p：f（x）-g（x）為減函數(shù)，命題q：x2+ax+2＜0有解．若p或q為真，p且q為假，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理科）已知圓C：x2+y2=1和點(diǎn)Q（2，0），動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)λ（λ＞0），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期T=π，最大值f（
π
12
）=4．
（1）求ω，a，b的值；
（2）若α，β為方程f（x）=0的兩根，α，β終邊不共線，求tan（α+β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，向量
m
=（-1，
3
），
n
=（cosA+1，sinA），且
m
⊥
n
．
（1）求角A；
（2）若
1+sin2B
cos2B-sin2B
=-3，求tanC．

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