Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+b在x=1處的切線方程為y=x+1．
①求a，b的值；
②求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：①由題意先求f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何含義和切點(diǎn)的實(shí)質(zhì)，建立a，b的方程求解即可；
②求f（x）的導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]上的值域．

解答： 解：①f′（x）=3x²+2ax，
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y=x+1，
∴f′（1）=3+2a=1，即a=1，
又f（1）=2，得2+b=2，∴b=0；
②由①知f（x）=x³+x²，f′（x）=3x²+2x，
∴函數(shù)在[-1，-

2

3

]，[0，

1

2

]上單調(diào)遞增，在[-

2

3

，0]上單調(diào)遞減，
∵f（-1）=f（0）=0，f（-

2

3

）=

4

27

，f（

1

2

）=

3

8

，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]上的值域?yàn)閇0，

3

8

]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．