Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+2n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

1

Sn

，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n；
（3）若數(shù)列{c_n}滿足條件：c_n+1=a_cn+2ⁿ，又c₁=3，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{

cn+λ

2n

}為等差數(shù)列？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）bn=

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（3）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，滿足條件，由

3+λ

2

，

9+λ

4

，

23+λ

8

成等差數(shù)列，求出λ=1，此時(shí)數(shù)列{

cn+1

2n

}是一個(gè)等差數(shù)列．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+2n，
n=1時(shí)，a₁=S₁=3，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
n=1時(shí)也成立，
∴a_n=2n+1．
（2）bn=

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…(

1

n-2

-

1

n

)+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

9n2+15n

4(n+1)(n+2)

（3）cn+1=acn+2n，即cn+1=2cn+1+2n，
假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，滿足條件，
又c₁=1，c₂=2c₁+1+2=9，c3=2c2+1+22=23，

3+λ

2

，

9+λ

4

，

23+λ

8

成等差數(shù)列，
即2×

9+λ

4

=

3+λ

2

+

23+λ

8

，
解得λ=1，此時(shí)

cn+1+1

2n+1

-

cn+1

2n

=

cn+1=1-2(cn+1)

2×2n

=

cn+1-2cn-1

2×2n

=

1+2n-1

2×2n

=

1

2

，
數(shù)列{

cn+1

2n

}是一個(gè)等差數(shù)列，
∴λ=1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查使數(shù)列為等差數(shù)列的實(shí)數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．