Question

11．已知等差數列{a_n}的第10項為-9，前11項的和為-11，
（1）求數列{a_n}的前n項和S_n的最大值；
（2）求數列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，由等差數列的前n項和公式和性質求出d，由等差數列的通項公式求出a_n，由公式求出前n項和S_n，由配方法和二次函數的性質求出S_n的最大值；
（2）由a_n=-2n+11對n分類討論，由前n項和S_n分別求出數列{|a_n|}的前n項和T_n．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵前11項的和為-11，∴${S}_{11}=\frac{11（{a}_{1}+{a}_{11}）}{2}=11{a}_{6}$=-11，
可得a₆=-1，
∵第10項為-9，∴d=$\frac{{a}_{10}-{a}_{6}}{4}$=-2，則a₁=9，
∴a_n=-11-2（n-1）=-2n+11，
S_n=$\frac{n（9-2n+11）}{2}$=-n²+10n=-（n-5）²+25，
∴當n=5時，S_n取到最大值是25；
（2）由（1）得，a_n=-2n+11，
∴當n≤5時，a_n＞0，
則T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=S_n=-n²+10n，
當n≥時，a_n＜0，
則T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-（a₆+a₇+…+a_n）
=S₅-（S_n-S₅）=2S₅-S_n=n²-10n+50，
綜上所述：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數列的通項公式、前n項和公式，以及等差數列的性質的靈活應用，等差數列前n項和的最值問題，考查分類討論思想，化簡、變形能力．