Question

函數(shù)f（x）=e^x（ax²+m）（其中a，m是實數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=0，m=1，函數(shù)f（x）的圖象上有三個點：A（x₁，f（x₁），B（x₂，f（x₂），C（x₃，f（x₃），
滿足：x₁＜x₂＜x₃，試判斷A，B，C三點是否在同一條直線上，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,三點共線

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=1時，f（x）=e^x（x²+m），從而f′（x）=e^x（x²+2x+m），分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，進而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）分別利用導(dǎo)數(shù)求出過點A，B，C的切線的斜率，斜率是否相等，繼而判斷判斷A，B，C三點是否在同一條直線上．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=e^x（x²+m），
∴f′（x）=e^x（x²+2x+m），
∵e^x＞0，
設(shè)g（x）=x²+2x+m，
①當(dāng)△=2²-4m≤0，即m≥1，g（x）≥0，
∴f′（x）≥0，
∴當(dāng)m≥1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．
②當(dāng)△=2²-4m＞0，即m＜1，
令g（x）=（x²+2x+m）=0，解得x=-1±

1-m

，
當(dāng)g（x）＞0時，x＞-1+

1-m

或x＜-1-

1-m

，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)g（x）＜0時，-1-

1-m

＜x＜-1+

1-m

，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1-

1-m

）∪（-1+

1-m

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1-

1-m

，-1+

1-m

），
（Ⅱ）a=0，m=1時，函數(shù)f（x）=e^x，
∴f′（x）=e^x，
∴k₁=f′（x₁）=f（x₁），k₂=f′（x₂）=f（x₂），k₃=f′（x₃）=f（x₃），
∵x₁＜x₂＜x₃，
∴f（x₁）＜f（x₂）＜f（x₃），
∴k₁＜k₂＜k₃，
∴A，B，C三點不在同一條直線上．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道綜合題．