Question

在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C₁：2x²-y²=1．
（1）過C₁的左頂點引C₁的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）過點Q(-

2

，

2

)作直線l與雙曲線C₁有且只有一個交點，求直線l的方程；
（3）設(shè)橢圓C₂：4x²+y²=1．若M、N分別是C₁、C₂上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸近線的交點，然后求出三角形的面積．
（2）過點Q(-

2

，

2

)作直線l與雙曲線C₁有且只有一個交點，直線l與雙曲線的漸近線平行，可得結(jié)論；
（3）當直線ON垂直x軸時，直接求出O到直線MN的距離為

3

3

．當直線ON不垂直x軸時，設(shè)直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞

2

2

），推出直線OM的方程為y=

1

k

x，利用

y=kx 4x2+y2=1

，求|ON|²=

1+k2

4+k2

．同理|OM|²=

1+k2

2k2-1

，設(shè)O到直線MN的距離為d，通過（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，求出d=

3

3

．推出O到直線MN的距離是定值．

解答： 解：（1）雙曲線C₁：2x²-y²=1左頂點A（-

2

2

，0），
漸近線方程為：y=±

2

x．
過A與漸近線y=

2

x平行的直線方程為y=

2

（x+

2

2

），即y=

2

x+1，
所以

y=- 2 x y= 2 x+1

，解得

x=- 2 4 y= 1 2

．
所以所求三角形的面積為S=

1

2

|OA||y|=

2

8

；
（2）由題意，直線的斜率存在，
∵過點Q(-

2

，

2

)作直線l與雙曲線C₁有且只有一個交點，
∴直線l與雙曲線的漸近線平行，
∵漸近線的斜率為±

2

，
∴直線l的方程為y-

2

=±

2

（x+

2

），即y=

2

x+2+

2

或y=-

2

x-2+

2

；
（3）當直線ON垂直x軸時，|ON|=1，|OM|=

2

2

，則O到直線MN的距離為

3

3

．
當直線ON不垂直x軸時，設(shè)直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞

2

2

），
則直線OM的方程為y=

1

k

x，由

y=kx 4x2+y2=1

得

x2= 1 4+k2 y2= k2 4+k2

，
所以|ON|²=

1+k2

4+k2

．
同理|OM|²=

1+k2

2k2-1

，
設(shè)O到直線MN的距離為d，
因為（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
所以

1

d2

=

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=3，
即d=

3

3

．
綜上，O到直線MN的距離是定值．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，圓錐曲線的綜合，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，設(shè)而不求的解題方法，點到直線的距離的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力．