已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0).
(Ⅰ)(i)若b=﹣2,且f(x)在(1,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(ii)若b=﹣1,c=1,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),|f(x)|的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有兩個(gè)小于1的不等正根,求a的最小正整數(shù)值.
(Ⅰ)(i)[1,+∞);(ii)(0,1];(Ⅱ)5
解析試題分析:(Ⅰ)(i)若b=﹣2,則f(x)=ax2﹣2x+c(a>0)的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線.若f(x)在(1,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),則≤1,解得a≥1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞);(ii)若b=﹣1,c=1,則f(x)=ax2﹣x+1(a>0)的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線,若當(dāng)x∈[0,1]時(shí),|f(x)|的最大值為1,則或解得0<a<,或≤a≤1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1];(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有兩個(gè)小于1的不等正根,則
解得a>4,故a的最小正整數(shù)值為5.
試題解析:(Ⅰ)(i)若b=﹣2,
則f(x)=ax2﹣2x+c(a>0)的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線.
若f(x)在(1,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),則≤1,解得a≥1,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)
(ii)若b=﹣1,c=1,
則f(x)=ax2﹣x+1(a>0)的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線.
若當(dāng)x∈[0,1]時(shí),|f(x)|的最大值為1,
則或,
解得0<a<,或≤a≤1
綜上所述:0<a≤1
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1]
(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有兩個(gè)小于1的不等正根,
則
由b2>4ac>4a(1﹣a﹣b)得:
b2+4ab+4a2=(b+2a)2>4a,
即b+2a>2,
即b>2﹣2a,…①
由b2>4ac≥4a得:
b<﹣2…②
由①②得:
2﹣2a<﹣2,
解得a>4,
故a的最小正整數(shù)值為5.
考點(diǎn):1.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì);2.不等式的性質(zhì)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某人準(zhǔn)備租一輛車從孝感出發(fā)去武漢,已知從出發(fā)點(diǎn)到目的地的距離為,按交通法規(guī)定:這段公路車速限制在(單位:)之間.假設(shè)目前油價(jià)為(單位:元),汽車的耗油率為(單位:), 其中(單位:)為汽車的行駛速度,耗油率指汽車每小時(shí)的耗油量.租車需付給司機(jī)每小時(shí)的工資為元,不考慮其它費(fèi)用,這次租車的總費(fèi)用最少是多少?此時(shí)的車速是多少?(注:租車總費(fèi)用=耗油費(fèi)+司機(jī)的工資)
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某地上年度電價(jià)為0.8元,年用電量為1億千瓦時(shí).本年度計(jì)劃將電價(jià)調(diào)至0.55元~0.75元之間,經(jīng)測算,若電價(jià)調(diào)至元,則本年度新增用電量(億千瓦時(shí))與元成反比例.又當(dāng)時(shí),.
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若每千瓦時(shí)電的成本價(jià)為0.3元,則電價(jià)調(diào)至多少時(shí),本年度電力部門的收益將比上年增加20%?[收益用電量(實(shí)際電價(jià)-成本價(jià))]
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用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥,對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用一個(gè)單位的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥的,用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多,但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上.設(shè)用單位量的水清洗一次以后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù).
⑴試規(guī)定的值,并解釋其實(shí)際意義;
⑵試根據(jù)假定寫出函數(shù)應(yīng)滿足的條件和具有的性質(zhì);
⑶設(shè),現(xiàn)有單位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成兩份后清洗兩次.試問用那種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少?說明理由.
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