Question

已知離心率為的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實(shí)軸，短軸為虛軸，且焦距為2．
（I）求橢圓及雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)P，連結(jié)BP交橢圓于點(diǎn)M，連結(jié)PA并延長交橢圓于點(diǎn)N，若=．求四邊形ANBM的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程和雙曲線方程，由橢圓的離心率是，雙曲線的焦距為2聯(lián)立方程組求出a和b的值，則橢圓及雙曲線的方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的橢圓方程求出A和B的坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由得M為BP的中點(diǎn)，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，把M的坐標(biāo)代入橢圓方程，把P的坐標(biāo)代入雙曲線方程，聯(lián)立后求出M和P的具體值，然后把四邊形ANBM的面積轉(zhuǎn)化為三角形ANB的面積求解．
解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0）．
則根據(jù)題意，雙曲線的方程為
，且滿足
，解方程組得
∴橢圓的方程為，雙曲線的方程；
（Ⅱ）由（I）得A（-5，0），B（5，0），|AB|=10．
設(shè)M（x，y），則由得M為BP的中點(diǎn)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x-5，2y），
將M、P坐標(biāo)代入橢圓和雙曲線方程，得
，
消去y，得
解之得或x=5（舍）
所以，由此可得，
所以．
當(dāng)P為時，直線PA的方程是
即．
代入，得2x²+15x+25=0
所以或-5（舍），
所以，x_N=x_M，MN⊥x軸．
所以．
點(diǎn)評：本題主要考查了圓錐曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，直線與圓錐曲線問題的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是難題．