Question

（2009•淮安模擬）選修4-4：幾何證明選講
在曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）上求一點(diǎn)，使它到直線C₂：

x=-2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

（t為參數(shù)）的距離最小，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)和最小距離．

Answer 1

分析：將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C₁任意點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+cosθ，sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡(jiǎn)后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到距離d的最小值，并求出此時(shí)θ的度數(shù)，即可確定出所求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：直線C₂化成普通方程是x+y-2

2

-1=0  …（2分）
設(shè)所求的點(diǎn)為P（1+cosθ，sinθ），…（3分）
則C到直線C₂的距離d=

|1+cosθ+sinθ+2 2 -1|

2

…（5分）
=|sin（θ+

π

4

）+2|…（7分）
當(dāng)θ+

π

4

=

3π

2

時(shí)，即θ=

5π

4

時(shí)，d取最小值1…（9分）
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1-

2

2

，-

2

2

）…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的參數(shù)方程的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．