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以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線的參數方程為 (t為參數，0<a<)，曲線C的極坐標方程為．

（I）求曲線C的直角坐標方程；

（II）設直線l與曲線C相交于A、B兩點，當a變化時，求|AB|的最小值．

 

【答案】

（I） ；（II） 4.

【解析】

試題分析：（I）利用,易得曲線C的直角坐標方程;（II）直線過點，根據直線的參數方程中的幾何意義，知道，將直線的參數方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理轉化為關于a的函數式，求最值即可.

試題解析：（I）由，得，所以曲線C的直角坐標方程為;

（II）將直線l的參數方程代入，得，設兩點對應的參數分別為，則， ，當時，的最小值為.

考點：1、極坐標方程與直角坐標方程的轉化 2、直線的參數方程及應用 3、直線與圓錐曲線相交問題的綜合應用 4、函數最值.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．已知點P的直角坐標為（1，-5），點M的極坐標為（4，
π
2
）．若直線l過點P，且傾斜角為
π
3
，圓C以M為圓心、4為半徑．
（Ⅰ）求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）試判定直線l和圓C的位置關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的單位長度．已知直線l經過點P（1，1），傾斜角α=
π
6
．
（I）寫出直線l的參數方程是
x=
3
t+1
y=t+1
（t為參數），
x=
3
t+1
y=t+1
（t為參數），

（II）設l與圓ρ=2相交與兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積是
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•許昌縣一模）以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知點P的極坐標為（
2
，
π
4
），直線l過點P，且傾斜角為
2π
3
，方程
x2
36
+
y2
16
=1所對應的曲線經過伸縮變換
x′=
1
3
x
y′=
1
2
y
后的圖形為曲線C．
（Ⅰ）求直線l的參數方程和曲線C的直角坐標系方程．
（Ⅱ）直線l與曲線C相交于兩點A，B，求|PA|•|PB|的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

三題中任選兩題作答
（1）（2011年江蘇高考）已知矩陣A=
11
21
，向量β=
1
2
，求向量α，使得A2α=β
（2）（2011年山西六校模考）以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，已知點P的直角坐標為（1，-5），點M的極坐標為(4，
π
2
)，若直線l過點P，且傾斜角為
π
3
，圓C以M為圓心、4為半徑．
①求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程；  ②試判定直線l和圓C的位置關系．
（3）若正數a，b，c滿足a+b+c=1，求
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．已知點P的直角坐標為（-1，5），點M的極坐標為（4，
π
2
）．若直線l過點P，且傾斜角為
π
3
，圓C以M為圓心，半徑為4．
（Ⅰ）求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）試判定直線l和圓C的位置關系．

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