(19)如圖，橢圓 (a＞b＞0)與過點A(2，0)、B(0，1)的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=

(Ⅰ)求橢圓方程；

(Ⅱ)設(shè)Fl、F2分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2=|AF1|·|AF2|．

本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。解：（Ⅰ）過A、B的直線方程為

因為由題意得有惟一解，

即（Equation.3+）x2-a2x+a2-a2b2=0有惟一解，

所以

Δ=a2b2 (a2+4b2-4)=0(ab≠0),

故a2+4b2-4=0.

又因為e=即

所以a2=4b2.

從而得a2=2，b2=，

故所需求的橢圓的方程為

（Ⅱ）由（Ⅰ）得c=

     所以F1（-，0），F(xiàn)2（，0）.

         由解得x1=x2=1，

     因此T（1，）.

     從而|AT|2=

     因為|AF1|·|AF2|=，

     所以|AT|2=|AF1|·|AF2|.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A1，A2，B1，B2為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、2
7
-5
B、
2
7
+1
9
C、
7
-
5
2
D、
2
7
-1
9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

(2007北京，19)如圖所示，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r．計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上．記CD＝2x，梯形面積為S．

(1)求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；

(2)求面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（19）如圖，橢圓（2，0）、B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=。

   （Ⅰ）求橢圓方程；

   （Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF2的中點，求證：∠ATM=∠AF1T。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

 (2012年高考福建卷理科19)（本小題滿分13分）

如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率。過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8。

（Ⅰ）求橢圓的方程。

（Ⅱ）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點。試探究：

     在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

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