【題目】如圖，已知四棱錐中，底面是矩形，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取，的中點(diǎn)，，連接，，，利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；

（2）解法一：利用線面垂直的判定定理、平行線的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐體積公式進(jìn)行求解即可；

解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合已知求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

解：（1）如圖，取，的中點(diǎn)，，連接，，，

因?yàn)?/span>，，

所以，，，

又，

所以，，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以，即，

平面，

所以平面，而平面，

所以平面平面；

（2）解法一：設(shè)到平面的距離為，

因?yàn)?/span>，，

所以，

由（1），，又，所以，

平面，

所以平面，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)到平面的距離為，

所以，

所以，

故直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：建系法

如圖，建立空間坐標(biāo)系，則，，，，

設(shè)，由，得

即，設(shè)平面的法向量為，

因?yàn)?/span>，，

所以，令，可得，

于是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5(單位：)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個(gè)值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重：

PM2.5

日均濃度

0~35

35~75

75~115

115~150

150~250

空氣質(zhì)量級(jí)別

一級(jí)

二級(jí)

三級(jí)

四級(jí)

五級(jí)

六級(jí)

空氣質(zhì)量類型

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

甲乙兩城市2020年5月份中的15天對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示：

（1）根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)甲乙兩城市15天內(nèi)哪個(gè)城市空氣質(zhì)量總體較好？并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

（2）在15天內(nèi)任取1天，估計(jì)甲乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率；

（3）在乙城市15個(gè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，設(shè)為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.

B.若把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)

C.若把的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在上是增函數(shù)

D.，若恒成立，則的最小值為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，.

（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；

（Ⅱ）若曲線過(guò)點(diǎn)的切線有兩條，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】年，某省將實(shí)施新高考，年秋季入學(xué)的高一學(xué)生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，滿分各分，另外，考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物門科目中自選門參加考試（選），每科目滿分分.為了應(yīng)對(duì)新高考，某高中從高一年級(jí)名學(xué)生（其中男生人，女生人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.

（1）已知抽取的n名學(xué)生中含女生人，求n的值及抽取到的男生人數(shù)；

（2）學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個(gè)科目，為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況，對(duì)在（1）的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目），下面表格是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表，請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由；

選擇“物理”

選擇“歷史”

總計(jì)

男生

10

女生

30

總計(jì)

（3）在抽取到的名女生中，在（2）的條件下，按選擇的科目進(jìn)行分層抽樣，抽出名女生，了解女生對(duì)“歷史”的選課意向情況，在這名女生中再抽取人，求這人中選擇“歷史”的人數(shù)為人的概率.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，已知焦點(diǎn)為的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn).

（1）判斷線段的中垂線是否過(guò)定點(diǎn)，若是求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是說(shuō)明理由；

（2）過(guò)點(diǎn)作的垂線交拋物線于另一點(diǎn)，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“支付寶捐步”已經(jīng)成為當(dāng)下最熱門的健身方式，為了了解是否使用支付寶捐步與年齡有關(guān)，研究人員隨機(jī)抽取了5000名使用支付寶的人員進(jìn)行調(diào)查，所得情況如下表所示：

50歲以上

50歲以下

使用支付寶捐步

1000

1000

不使用支付寶捐步

2500

500

（1）由上表數(shù)據(jù)，能否有99.9%的把握認(rèn)為是否使用支付寶捐步與年齡有關(guān)？

（2）55歲的老王在了解了捐步功能以后開啟了自己的捐步計(jì)劃，可知其在捐步的前5天，捐步的步數(shù)與天數(shù)呈線性相關(guān)．

第x天

第1天

第2天

第3天

第4天

第5天

步數(shù)

4000

4200

4300

5000

5500

（i）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程；

（ii）記由（i）中回歸方程得到的預(yù)測(cè)步數(shù)為，若從5天中任取3天，記的天數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望．

附參考公式與數(shù)據(jù)：，；K2=；

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知平面上一動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

（1）求點(diǎn)A的軌跡E的方程；

（2）點(diǎn)B在軌跡E上，且縱坐標(biāo)為.

（i）證明直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

（ii）分別以A，B為圓心作與直線相切的圓，兩圓公共弦的中點(diǎn)為H，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)P，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求面積的最大值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案