已知邊長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F(xiàn)為AD、CD上靠近D的三等分點(diǎn),H為BB1上靠近B的三等分點(diǎn),G是EF的中點(diǎn).
(1)求A1H與平面EFH所成角的余弦值;
(2)設(shè)點(diǎn)P在線(xiàn)段GH上,且,試確定λ的值,使得C1P的長(zhǎng)度最短.

【答案】分析:(1)由題意建立坐標(biāo)系,求出平面EFH的法向量,利用對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積求出線(xiàn)面角的余弦值,再求其正弦值;
(2)由題意先求出P點(diǎn)的坐標(biāo),再求向量的長(zhǎng)度的平方,轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的一個(gè)一元二次函數(shù),當(dāng)取在對(duì)稱(chēng)軸出有最小值.
解答:解:由題意,以D1為坐標(biāo)原點(diǎn),A1D1,D1C1,DD1為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系
,
可得E(2,0,6),F(xiàn)(0,2,6),H(6,6,4),A1(6,0,0).
(1)設(shè)平面EFH的法向量=(1,x,y),∵=(-2,2,0),=(4,6,-2)
,求得=(1,1,5);
=(0,6,4),∴cos<,>===;
設(shè)A1H 與平面EF所成角θ,則cosθ==.(5分)
(2)由題意知,G(1,1,6),C1(0,6,0),=(5,5,-2),
,∴設(shè)=(5λ,5λ,-2λ),解得P(5λ+1,5λ+1,-2λ+6),
=(5λ+1,5λ-5,-2λ+6),
=(5λ+1)2+(5λ-5)2+(2λ-6)2=54λ2-64λ+58,
當(dāng)λ=時(shí),C1P的長(zhǎng)度取得最小值.(10分)
點(diǎn)評(píng):本題用向量法求線(xiàn)面角的問(wèn)題及求線(xiàn)段的最小值,只要用了向量的數(shù)量積和向量的長(zhǎng)度;在求長(zhǎng)度時(shí)轉(zhuǎn)化到了二次函數(shù)求最小值,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知邊長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F(xiàn)為AD、CD上靠近D的三等分點(diǎn),H為BB1上靠近B的三等分點(diǎn),G是EF的中點(diǎn).
(1)求A1H與平面EFH所成角的余弦值;
(2)設(shè)點(diǎn)P在線(xiàn)段GH上,且
GPGH
,試確定λ的值,使得C1P的長(zhǎng)度最短.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知邊長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F(xiàn)為AD、CD上靠近D的三等分點(diǎn),H為BB1上靠近B的三等分點(diǎn),G是EF的中點(diǎn).
(1)求A1H與平面EFH所成角的正弦值;
(2)設(shè)點(diǎn)P在線(xiàn)段GH上,
GP
GH
=λ,試確定λ的值,使得二面角P-C1B1-A1的余弦值為
10
10

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知邊長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F(xiàn)為AD、CD上靠近D的三等分點(diǎn),H為BB1上靠近B的三等分點(diǎn),G是EF的中點(diǎn).
(1)求A1H與平面EFH所成角的余弦值;
(2)設(shè)點(diǎn)P在線(xiàn)段GH上,且數(shù)學(xué)公式,試確定λ的值,使得C1P的長(zhǎng)度最短.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知邊長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F(xiàn)為AD、CD上靠近D的三等分點(diǎn),H為BB1上靠近B的三等分點(diǎn),G是EF的中點(diǎn).
(1)求A1H與平面EFH所成角的正弦值;
(2)設(shè)點(diǎn)P在線(xiàn)段GH上,=λ,試確定λ的值,使得二面角P-C1B1-A1的余弦值為

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案