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已知邊長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F為AD、CD上靠近D的三等分點,H為BB1上靠近B的三等分點,G是EF的中點.
(1)求A1H與平面EFH所成角的余弦值;
(2)設點P在線段GH上,且數學公式,試確定λ的值,使得C1P的長度最短.

解:由題意,以D1為坐標原點,A1D1,D1C1,DD1為x,y,z軸建立直角坐標系,
可得E(2,0,6),F(0,2,6),H(6,6,4),A1(6,0,0).
(1)設平面EFH的法向量=(1,x,y),∵=(-2,2,0),=(4,6,-2)
,求得=(1,1,5);
=(0,6,4),∴cos<,>===;
設A1H 與平面EF所成角θ,則cosθ==.(5分)
(2)由題意知,G(1,1,6),C1(0,6,0),=(5,5,-2),
,∴設=(5λ,5λ,-2λ),解得P(5λ+1,5λ+1,-2λ+6),
=(5λ+1,5λ-5,-2λ+6),
=(5λ+1)2+(5λ-5)2+(2λ-6)2=54λ2-64λ+58,
當λ=時,C1P的長度取得最小值.(10分)
分析:(1)由題意建立坐標系,求出平面EFH的法向量,利用對應向量的數量積求出線面角的余弦值,再求其正弦值;
(2)由題意先求出P點的坐標,再求向量的長度的平方,轉化為關于λ的一個一元二次函數,當取在對稱軸出有最小值.
點評:本題用向量法求線面角的問題及求線段的最小值,只要用了向量的數量積和向量的長度;在求長度時轉化到了二次函數求最小值,考查了轉化思想和運算能力.
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GPGH
,試確定λ的值,使得C1P的長度最短.

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(2)設點P在線段GH上,
GP
GH
=λ,試確定λ的值,使得二面角P-C1B1-A1的余弦值為
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