Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+x，x≤1 log0.5x，x＞1

，若對于任意x∈R，不等式f（x）≤

t2

4

-t+1恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，1]∪[2，+∞）
• B、（-∞，1]∪[3，+∞）
• C、[1，3]
• D、（-∞，2]∪[3，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：這是一個不等式恒成立問題，只需

t2

4

-t+1≥f(x)max即可，再求分段函數(shù)的最大值，解出關(guān)于t的不等式即為所求．

解答： 解：對于f（x），當(dāng)x≤1時，y=--x2+x=-(x-

1

2

)2+

1

4

在（-∞，

1

2

]遞增，在（

1

2

，1]上遞減，故此時y_max=f（

1

2

）=

1

4

；
當(dāng)x＞1時，y=log_0.5x是減函數(shù)，此時y＜log_0.51=0，；綜上原函數(shù)的最大值為

1

4

，
故不等式f（x）≤

t2

4

-t+1恒成立，只需

t2

4

-t+1≥

1

4

即可，解得t≤1或t≥3．
故選B．

點評：本題考查了不等式恒成立的問題、分段函數(shù)的最值的求法等問題，一般是把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．