Question

已知拋物線C：y²=4x，動直線l：y=k（x+1）與拋物線C交于A，B兩點，O為原點．
（1）求證：

OA

•

OB

是定值；
（2）求滿足

OM

=

OA

+

OB

的點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由題意知k²x²+（2k²-4）x+k²=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4

k2

-2，x₁x₂=1.

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）=k²+1+k²（

4

k2

-2）+k²=5，所以

OA

•

OB

=5為常數(shù)．?
（2）

OM

=

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（

4

k2

-2，

4

k

）．?設M（x，y），則y²=4x+8．由此可知M的軌跡方程為y²=4x+8（x＞2）．

解答：解：由

y2=4x y=k(x+1)

得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．?
由k≠0，且△＞0，得-1＜k＜1，且k≠0．?
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4

k2

-2，x₁x₂=1．?
（1）證明：

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）?
=（k²+1）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²?
=k²+1+k²（

4

k2

-2）+k²=5，?
∴

OA

•

OB

=5為常數(shù)．?
（2）解：

OM

=

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（

4

k2

-2，

4

k

）．?
設M（x，y），則

x= 4 k2 -2 y= 4 k

消去k得y²=4x+8．?
又∵x=

4

k2

-2＞2，故M的軌跡方程為y²=4x+8（x＞2）．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答．