Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

 （n∈N*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n；（不用證明）
（Ⅲ）若數(shù)列b_n=

an

n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和s_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在a_n+1=

2an

2+an

（n∈N*）中令n=1求出a₂，令n=2求出a₃，令n=3求出a_4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）應(yīng)猜想：a_n=

2

n+1

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b_n=

an

n

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），裂項(xiàng)后化簡整理即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

∴a₂=

2a1

2+a1

=

2

3

，a₃=

2a2

2+a2

=

2

4

，a₄=

2a3

2+a3

=

2

5

．
（Ⅱ）猜想：a_n=

2

n+1

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b_n=

an

n

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）
從而S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，歸納的思想，裂項(xiàng)法數(shù)列求和．屬于常規(guī)題．