Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：，a_n+b_n=1．
（1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)s_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…a_na_n+1，若4aS_n＜b_n對于n∈N^*恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由a_n+b_n=1，得b_n=1-a_n，
依題意=∴=∵，∴，∴數(shù)列是以-4為首項公差為-1的等差數(shù)列
（2）由（1）知，
則，
（3）S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1==∴4aS_n-b_n=
依題意可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，令f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
當a=1時，f（n）=-3n-8＜0恒成立
當a＞1時，由二次函數(shù)性質(zhì)知f（n）＜0不可能成立
當a＜1時，此二次函數(shù)的對稱軸為
則f（n）在n∈N^*上是單調(diào)遞減，∴要使f（n）＜0對n∈N^*恒成立
必須且只須f（1）＜0即4a-15＜0，∴，又a＜1∴a＜1
綜上a≤1，4aS_n≤b_n對于n∈N^*恒成立．
分析：（1）由a_n+b_n=1，得b_n=1-a_n，依題意=，由此能夠證明數(shù)列{}是等差數(shù)列．
（2）由，知，由此能得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）由s_n==，知4aS_n-b_n=，依題意可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，由此借助二次函數(shù)的性質(zhì)能夠推導(dǎo)出a≤1，4aS_n≤b_n對于n∈N^*恒成立．
點評：本題考查等差數(shù)列的證明方法，數(shù)列通項公式的求解方法和以數(shù)列為載體求解實數(shù)a的取值范圍，解題時要注意數(shù)列性質(zhì)的靈活運用．