Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，
線段恰被拋物線平分．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)直線、、的斜率分別為、、，問能否成公差不為零的等差數(shù)列？若能，求直線的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），，能成公差不為零的等差數(shù)列，直線的方程為：

試題分析：（Ⅰ）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)在拋物線上，
∴，，∴(舍) ．                                ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：拋物線：，．
設(shè)方程為：，、，則
由得：，
，∴或．，                   ……5分
假設(shè)，，能成公差不為零的等差數(shù)列，則．
而
，                              ……7分
，∴，，解得：（符合題意），
（此時(shí)直線經(jīng)過焦點(diǎn)，，不合題意，舍去），
直線的方程為，即． 
故，，能成公差不為零的等差數(shù)列，直線的方程為：.             ……10分
點(diǎn)評：解決直線與圓錐曲線的位置，一般免不了聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，此時(shí)運(yùn)算量比較大，要仔細(xì)運(yùn)算，而且聯(lián)立之后，不要忘記驗(yàn)證判別式大于零.