Question

12．已知函數(shù)f（x）=2-3log₂x，g（x）=log₂x．
（1）若函數(shù)$F（x）=g（\frac{1-x}{1+x}）$，
①求F（x）的定義域，并判斷F（x）的奇偶性；
②判斷F（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性，并給出證明；
（2）求函數(shù)$M（x）=\frac{{f（x）+g（x）+|{f（x）-g（x）}|}}{2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）①由函數(shù)的解析式可得$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解得-1＜x＜1，可得函數(shù)的定義域．由于函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
②令t（x）=$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$，設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則有t（x₁）-t（x₂）=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＞0，即t（x₁）＞t（x₂），可得函數(shù)t（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)，進而根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得到結(jié)論；
（2）由對數(shù)的運算性質(zhì)可得函數(shù)$M（x）=\frac{{f（x）+g（x）+|{f（x）-g（x）}|}}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}2-3{log}_{2}x，0＜x≤\sqrt{2}\\{log}_{2}x，x＞\sqrt{2}\end{array}\right.$，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）①∵g（x）=log₂x．
∴函數(shù)$F（x）=g（\frac{1-x}{1+x}）$=log₂$\frac{1-x}{1+x}$，
由$\frac{1-x}{1+x}$＞0得：x∈（-1，1），
故F（x）的定義域為（-1，1），
又由F（-x）=${log}_{2}\frac{1+x}{1-x}$=-${log}_{2}\frac{1-x}{1+x}$=-F（x），
故函數(shù)F（x）為奇函數(shù)，
②令t（x）=$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$，顯然函數(shù)t（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)．
證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則有t（x₁）-t（x₂）=[-1+$\frac{2}{1+{x}_{1}}$]-[-1+$\frac{2}{1+{x}_{2}}$]=$\frac{2}{1+{x}_{1}}$-$\frac{2}{1+{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$．
由題設(shè)可得，（1+x₁）＞0，（1+x₂）＞0，2（x₂-x₁）＞0，
∴$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＞0，即t（x₁）＞t（x₂），
故函數(shù)t（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)．
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）=lgt（x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$ 在定義域（-1，1）上是減函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）=2-3log₂x，g（x）=log₂x．
∴函數(shù)$M（x）=\frac{{f（x）+g（x）+|{f（x）-g（x）}|}}{2}$=$\frac{2-2{log}_{2}x+|2-4{log}_{2}x|}{2}$=1-log₂x+|1-2log₂x|=$\left\{\begin{array}{l}2-3{log}_{2}x，0＜x≤\sqrt{2}\\{log}_{2}x，x＞\sqrt{2}\end{array}\right.$，
故M（x）在（0，$\sqrt{2}$]上為減函數(shù)，在（$\sqrt{2}$，+∞）上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=$\sqrt{2}$時，M（x）取最小值$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的定義和判斷方法，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．