Question

16．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q都在曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=2sinβ\end{array}\right.$（β為參數(shù)）上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為β=α與β=2α（0＜α＜2π），M為PQ的中點(diǎn)．
（1）求M的軌跡的參數(shù)方程；
（2）將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）利用參數(shù)方程與中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出；
（2）利用兩點(diǎn)之間的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）依題意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）．
M的軌跡的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα+cos2α\\ y=sin2α+sinα\end{array}\right.（α$為參數(shù)，0＜α＜2π）．
（2）M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{2+2cosα}$（0＜α＜2π）．
當(dāng)α=π時(shí)，d=0，故M的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．