Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

-

2x

4x+1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判定f（x）是定義域R上的偶函數(shù)；
（2）用單調(diào)性的定義可以證明f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

2

-

2x

4x+1

=

4x+1-2•2x

2(4x+1)

，
∴f（-x）=

4-x+1-2•2-x

2(4-x+1)

=

1+4x-2•2x

2(1+4x)

=f（x），
∴f（x）是定義域R上的偶函數(shù)；
（2）f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（

1

2

-

2x1

4x1+1

）-（

1

2

-

2x2

4x2+1

）
=

(2x1-2x2)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵0＜x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，∴2x1+x2＞1，∴2x1+x2-1＞0，
且4x1+1＞0，4x2+1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定與證明，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)奇偶性與單調(diào)性的定義來證明即可，是基礎(chǔ)題．