Question

設(shè)函數(shù)，其中．證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值．

Answer 1

當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，
若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為．
若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為．

試題分析：證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005612315950.png" style="vertical-align:middle;" />，所以的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005612346514.png" style="vertical-align:middle;" />．
．
當(dāng)時(shí)，如果在上單調(diào)遞增；
如果在上單調(diào)遞減．
所以當(dāng)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，

令，得（舍去），，
當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：

		0
		極小值

從上表可看出，
函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為．
當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：

		0
		極大值

從上表可看出，
函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，
若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為．
若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為．
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是能對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，得到結(jié)論，屬于中檔題。