Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

）定義在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上，
（1）求f（x）函數(shù)的單調增區(qū)間；
（2）若f²（x）-2f（x）+m≥0對定義域內的所有x都成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象,正弦函數(shù)的單調性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）對于函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．再根據(jù)定義域為[-

π

12

，

π

2

]，可進一步確定函數(shù)的增區(qū)間．
（2）根據(jù)x∈[-

π

12

，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）∈[-

3

2

，1]．由題意可得f²（x）-2f（x）的最小值大于或等于-m，即[f（x）-1]²≥1-m 恒成立，可得（1-1）²≥1-m，由此求得m的范圍．

解答： 解：（1）對于函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
再根據(jù)函數(shù)的定義域為[-

π

12

，

π

2

]，可得函數(shù)的增區(qū)間為[-

π

12

，

π

3

]．
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，∴sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]，即f（x）∈[-

3

2

，1]
根據(jù)f²（x）-2f（x）+m≥0對定義域內的所有x都成立，可得f²（x）-2f（x）的最小值大于或等于-m，
即[f（x）-1]²≥1-m 恒成立，∴（1-1）²≥1-m，求得m≥1，即m的范圍為[1，+∞）．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的單調性，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．