Question

已知橢圓和雙曲線還可以由下面的方式定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和定直線（定點(diǎn)在定直線外）的距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的集合．這里定點(diǎn)就是焦點(diǎn)，定直線就是與焦點(diǎn)相對應(yīng)的準(zhǔn)線，比如橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的準(zhǔn)線方程為x=±

a2

c

（c為半焦距），雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的準(zhǔn)線方程為x=±

a2

c

（c為半焦距）這里的常數(shù)就是其離心率e．現(xiàn)在設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F，過F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，那么以弦AB為直徑的圓與左準(zhǔn)線的位置關(guān)系應(yīng)該是

 

，那么類比到雙曲線中結(jié)論是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：推理和證明

分析：過A、B分別向左準(zhǔn)線作垂線AA'，BB'，由第二定義得：|AF|=e|AA'|，|BF|=e|BB'|，

|AF|+|BF|

2

=

|AA′|+|BB′|

2

•e，根據(jù)圓心到左準(zhǔn)線的距離d，和半徑r的關(guān)系，結(jié)合橢圓、雙曲線的離心率，即可判斷．

解答： 解：解：設(shè)圓錐曲線過焦點(diǎn)F的弦為AB，
過A、B分別向相應(yīng)的準(zhǔn)線作垂線AA'，BB'，
則由第二定義得：|AF|=e|AA'|，|BF|=e|BB'|，
∴

|AF|+|BF|

2

=

|AA′|+|BB′|

2

•e，
設(shè)以AB為直徑的圓M半徑為r，圓心到左準(zhǔn)線的距離為d，即有r=de，
由于橢圓的離心率：0＜e＜1，此時r＜d，圓M與左準(zhǔn)線相離；
由于雙曲線的離心率：e＞1，此時r＞d，圓M與左準(zhǔn)線相交．
故答案為：相離，相交

點(diǎn)評：本題主要考查類比推理思想，考查利用圓錐曲線的第二定義，梯形的中位線的性質(zhì)，運(yùn)用圓心到直線的距離與半徑的比較，來判斷直線與圓的位置關(guān)系．