Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x+1，a∈R
（Ⅰ）若f（x）在x=2處的切線與直線2x+y=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立條件故選即可求出a的值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的故選即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）直線2x+y=0的斜率k=-2，
若f（x）在x=2處的切線與直線2x+y=0垂直，
則f′（2）=

1

2

，
∵f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x+1，
∴f′（x）=

1

x

-ax-2，
則f′（2）=

1

2

-2a-2=

1

2

，
解得a=-1；
（Ⅱ）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，
即f′（x）=

1

x

-ax-2＜0在（0，+∞）上有解，
即

1

x

-2＜ax，則a＞

1-2x

x2

，
設(shè)g（x）=

1-2x

x2

，則g（x）=（

1

x

）²-2•

1

x

=（

1

x

-1）²-1≥-1，
則a＞-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．