Question

若對(duì)任意x∈A，y∈B，(A⊆R，B⊆R)有唯一確定的f(x，y)與之對(duì)應(yīng)，則稱f(x，y)為關(guān)于x，y的二元函數(shù)．滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)f(x，y)稱為關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的廣義“距離”：

(1)非負(fù)性：f(x，y)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時(shí)取等號(hào)；

(2)對(duì)稱性：f(x，y)＝f(y，x)；

(3)三角形不等式：f(x，y)≤f(x，z)＋f(z，y)對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立．

今給出三個(gè)二元函數(shù)：①f(x，y)＝|x－y|；②f(x，y)＝(x－y)²；③f(x，y)＝.

其中能夠成為關(guān)于x，y的廣義“距離”的二元函數(shù)的序號(hào)是(    )

A．①                B．①②                     C．②③            D．①②③

Answer 1

A

解析：對(duì)函數(shù)f(x，y)＝|x－y|，∵f(x，y)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時(shí)取等號(hào)，滿足非負(fù)性；

f(y，x)＝|y－x|＝|x－y|＝f(x，y)，滿足對(duì)稱性；

由|a＋b|≤|a|＋|b|得|x－y|＝|(x－z)＋(z－y)|≤|x－z|＋|z－y|對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立．

即f(x，y)≤f(x，z)＋f(z，y)，滿足三角形不等式．故①滿足廣義“距離”．

對(duì)函數(shù)f(x，y)＝(x－y)²，顯然滿足非負(fù)性和對(duì)稱性．

∵當(dāng)z＝0時(shí)，f(x，y)－[f(x,0)＋f(0，y)]＝－2xy，顯然不恒小于等于零，故不滿足三角形不等式，故②不滿足廣義“距離”．

對(duì)函數(shù)f(x，y)＝，顯然不滿足對(duì)稱性．故③不滿足廣義“距離”．故選A.