已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(2,0),且離心率為
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)N(
2
,0)且斜率為
6
3
的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),求證:
OA
OB
=0.
分析:(I)利用橢圓的性質(zhì)即可得出;
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意可得直線l的方程為:y=
6
3
(x-
2
)
.與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,再利用向量的數(shù)量積即可得出.
解答:解:(Ⅰ)由題意可知,
a=2
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
,解得
a=1,b=1
c=
3
,
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由題意可得直線l的方程為:y=
6
3
(x-
2
)

l聯(lián)立
y=
6
3
(x-
2
)
x2
4
+y2=1
消去y得:11x2-16
2
x+4=0
,
x1+x2=
16
2
11
,x1x2=
4
11

OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+
2
3
(x1-
2
)(x2-
2
)
=
5
3
x1x2
-
2
2
3
(x1+x2)
+
4
3
=
20
33
-
64
33
+
4
3
=0.
OA
OB
=0
點(diǎn)評(píng):熟練掌握橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
2
2
,設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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