Question

過拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F作直線AB，CD與拋物線交于A，B，C，D四點(diǎn)，且AB⊥CD，則

FA

•

FB

+

FC

•

FD

的最大值等于（　　）

• A、-4
• B、-16
• C、4
• D、-8

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：如圖所示，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+1，（k≠0）．由于AB⊥CD，可得直線CD的方程為y=-

1

k

x+1．分別與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答：解：如圖所示，
由拋物線x²=4y可得焦點(diǎn)F（0，1）．
設(shè)直線AB的方程為：y=kx+1，（k≠0）．
∵AB⊥CD，可得直線CD的方程為y=-

1

k

x+1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，化為x²-4kx-4=0，
得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
同理可得x3+x4=

-4

k

，x₃x₄=-4．
∴

FA

•

FB

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂=-4（1+k²）．
同理可得

FC

•

FD

=-4(1+

1

k2

)．
∴

FA

•

FB

+

FC

•

FD

=-4(2+k2+

1

k2

)≤-4(2+2

k2• 1 k2

)=-16，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時取等號．
∴

FA

•

FB

+

FC

•

FD

的最大值等于-16．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．