Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．
（1）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若﹣1≤a≤0，證明：函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng) 時(shí)， ．

所以 ，（x＞0）．

令f'（x）=0，得x=2，

當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，

所以函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有最小值

（2）解：由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ．

所以當(dāng)a≤0時(shí)， ，

函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上最多有一個(gè)零點(diǎn)

因?yàn)楫?dāng)﹣1≤a≤0時(shí)，f（1）=a﹣1＜0， ，

所以當(dāng)﹣1≤a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有零點(diǎn)．

綜上，當(dāng)﹣1≤a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)

（3）解：由（2）知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上最多有一個(gè)零點(diǎn)．

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，所以a＞0．

由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ，令g（x）=2ax2﹣x﹣1．

因?yàn)間（0）=﹣1＜0，2a＞0，

所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0．

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g（x）＜0，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f'（x）＞0．

所以函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；在（x0，+∞）上單調(diào)遞增．

要使得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，

只需要函數(shù)f（x）的極小值f（x0）＜0，即 ．

又因?yàn)? ，所以2lnx0+x0﹣1＞0，

又因?yàn)楹瘮?shù)h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函數(shù)，且h（1）=0，

所以x0＞1，得 ．

又由 ，得 ，

所以0＜a＜1． …13分

以下驗(yàn)證當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)0＜a＜1時(shí)， ，

所以 ．

因?yàn)? ，且f（x0）＜0．

所以函數(shù)f（x）在 上有一個(gè)零點(diǎn)．

又因?yàn)? （因?yàn)閘nx≤x﹣1），且f（x0）＜0．

所以函數(shù)f（x）在 上有一個(gè)零點(diǎn)．

所以當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在 內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）．

下面證明：lnx≤x﹣1．

設(shè)t（x）=x﹣1﹣lnx，所以 ，（x＞0）．

令t'（x）=0，得x=1．

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，t'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，t'（x）＞0．

所以函數(shù)t（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)x=1時(shí)，t（x）有最小值t（1）=0．

所以t（x）=x﹣1﹣lnx≥0，得lnx≤x﹣1成立

【解析】（1）當(dāng) 時(shí)， ．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，然后判斷單調(diào)性求解函數(shù)的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ．當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)﹣1≤a≤0時(shí)，f（1）=a﹣1＜0， ，推出結(jié)果．（3）由（2）知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上最多有一個(gè)零點(diǎn)．說明a＞0，由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ，說明函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；在（x0 ， +∞）上單調(diào)遞增． 要使得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要 ．通過函數(shù)h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函數(shù)，推出0＜a＜1．驗(yàn)證當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．證明：lnx≤x﹣1．
設(shè)t（x）=x﹣1﹣lnx，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)．