Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

a(x+1)

x

，a∈R．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=0，求證：?x∈

1，+∞

，

1

f(x)

-

1

x-1

＜

1

2

恒成立．

Answer 1

分析：（1）若a=2，f′(x)=

x-2

x2

，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）a=0時，f(x)=

1

lnx

只需證明?x∈(1，+∞)，

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

，只需證明?x∈(1，+∞)，lnx＞

2(x-1)

x+1

．令g(x)=lnx-

2(x-1)

x+1

，g′(x)=

(x-1)2

x(x+1)

＞0，由此能夠證明?x∈(1，+∞)，

1

f(x)

-

1

x-1

＜

1

2

恒成立．

解答：解：（1）若a=2，f(x)=lnx-

2(x+1)

x

，(x＞0)f′(x)=

x-2

x2

當(dāng)0＜x＜2時f′（x）＜0  函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x＞2時 f′（x）＞0 函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
所以函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（0，2），增區(qū)間為（2，+∞）         （5分）
（2）證明：a=0時 f(x)=

1

lnx

只需證明?x∈(1，+∞)，

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

，
即證

1

lnx

＞

2(x-1)

x+1

只需證明?x∈(1，+∞)，lnx＞

2(x-1)

x+1

（8分）
令g(x)=lnx-

2(x-1)

x+1

，g′(x)=

(x-1)2

x(x+1)

＞0
所以g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
所以g（x）＞g（1）=0
即lnx-

2(x-1)

x+1

＞0，也就是?x∈(1，+∞)，lnx＞

2(x-1)

x-1

所以?x∈(1，+∞)，

1

f(x)

-

1

x-1

＜

1

2

恒成立                    （12分）

點(diǎn)評：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．