Question

20．已知f（x）是二次函數(shù)，若f（0）=0，且函數(shù)f（x+1）=f（x）+x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在x∈[-1，2]時(shí)的值域
（3）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$，判斷函數(shù)g（x）是否存在零點(diǎn)，若存在零點(diǎn)求出所有零點(diǎn)，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出函數(shù)的表達(dá)式，由題意得方程組解出即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域；
（3）g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$=0，可得$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{x}$=0，解方程，可得函數(shù)g（x）的零點(diǎn)．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，f（0）=0，則c=0，
由題意得：f（x+1）=f（x）+x+1，
∴ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=b+1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得：a=b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x；
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，x∈[-1，2]，最小值為f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{8}$，最大值為f（2）=3，
∴值域是$[{-\frac{1}{8}，3}]$
（3）g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$=0，可得$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{x}$=0，
∴x³+x²-2=0
∴（x-1）（x²+2x+2）=0
∴x=1，即函數(shù)g（x）的零點(diǎn)是1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的求解析式問題，考查了函數(shù)的值域問題，是一道中檔題．