Question

7．已知f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1），若y=|f（x）-b+$\frac{1}$|-3有4個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，即可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．先判斷函數(shù)f（x）的極小值，再由函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化方程有解問題，去掉絕對值，變成兩個(gè)方程，即可解出b的范圍．

解答 解：∵f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）．
∴求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，
∴l(xiāng)na＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，a^x-1＞0，
∴f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
同理函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（0）=1，
由|f（x）-b+$\frac{1}$|-3=0，
得：f（x）=b-$\frac{1}$+3，或f（x）=b-$\frac{1}$-3，
∵函數(shù)y=|f（x）-b+$\frac{1}$|-3有四個(gè)零點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{1}+3＞1}\\{b-\frac{1}-3＞1}\end{array}\right.$，
∴b-$\frac{1}$＞4，
解得：b＞2+$\sqrt{5}$，2-$\sqrt{5}$＜b＜0，
∴b的范圍是（2-$\sqrt{5}$，0）∪（2+$\sqrt{5}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最值．