【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(sinx﹣ax2+2a﹣e),其中a∈R,e=2.71818…為自然數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)a=0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng) ≤a≤1時(shí),求證:對(duì)任意的x∈[0,+∞),f(x)<0.

【答案】
(1)解:當(dāng)a=0時(shí),f(x)=ex(sinx﹣e),

則f′(x)=ex(sinx﹣e)+excosx=ex(sinx﹣e+cosx),

∵sinx+cosx= sin(x+ )≤ <e,

∴sinx+cosx﹣e<0

故f′(x)<0

則f(x)在R上單調(diào)遞減


(2)解:當(dāng)x≥0時(shí),y=ex≥1,

要證明對(duì)任意的x∈[0,+∞),f(x)<0.

則只需要證明對(duì)任意的x∈[0,+∞),sinx﹣ax2+2a﹣e<0.

設(shè)g(a)=sinx﹣ax2+2a﹣e=(﹣x2+2)a+sinx﹣e,

看作以a為變量的一次函數(shù),

要使sinx﹣ax2+2a﹣e<0,

,即 ,

∵sinx+1﹣e<0恒成立,∴①恒成立,

對(duì)于②,令h(x)=sinx﹣x2+2﹣e,

則h′(x)=cosx﹣2x,

設(shè)x=t時(shí),h′(x)=0,即cost﹣2t=0.

∴t= ,sint<sin

∴h(x)在(0,t)上,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,在(t,+∞)上,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

則當(dāng)x=t時(shí),函數(shù)h(x)取得最大值h(t)=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣( 2+2﹣e

=sint﹣ +2﹣e= sin2t+sint+ ﹣e=( +1)2+ ﹣e≤( 2+ ﹣e= ﹣e<0,

故④式成立,

綜上對(duì)任意的x∈[0,+∞),f(x)<0


【解析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行討論即可.(2)對(duì)任意的x∈[0,+∞),f(x)<0轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的x∈[0,+∞),sinx﹣ax2+2a﹣e<0,即可,構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究即可.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某學(xué)校為了了解高中生的藝術(shù)素養(yǎng),從學(xué)校隨機(jī)選取男,女同學(xué)各50人進(jìn)行研究,對(duì)這100名學(xué)生在音樂(lè)、美術(shù)、戲劇、舞蹈等多個(gè)藝術(shù)項(xiàng)目進(jìn)行多方位的素質(zhì)測(cè)評(píng),并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為個(gè)人的素養(yǎng)指標(biāo),制成下圖,其中“*”表示男同學(xué),“+”表示女同學(xué).

,則認(rèn)定該同學(xué)為“初級(jí)水平”,若,則認(rèn)定該同學(xué)為“中級(jí)水平”,若,則認(rèn)定該同學(xué)為“高級(jí)水平”;若,則認(rèn)定該同學(xué)為“具備一定藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)”,否則為“不具備明顯藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)”.

(I)從50名女同學(xué)的中隨機(jī)選出一名,求該同學(xué)為“初級(jí)水平”的概率;

(Ⅱ)從男同學(xué)所有“不具備明顯藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)的中級(jí)或高級(jí)水平”中任選2名,求選出的2名均為“高級(jí)水平”的概率;

(Ⅲ)試比較這100名同學(xué)中,男、女生指標(biāo)的方差的大。ㄖ恍鑼(xiě)出結(jié)論).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,菱形ABCD與正三角形BCE的邊長(zhǎng)均為2,且平面ABCD⊥平面BCE,F(xiàn)D⊥平面ABCD,
(I)求證:EF∥平面ABCD;
(II)求證:平面ACF⊥平面BDF.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為實(shí)數(shù))的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.

(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)設(shè)函數(shù),證明時(shí), .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為,分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn),軸于點(diǎn),軸于點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若,求的值;

(3)求證:四邊形的面積為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖四邊形ABCD為菱形,GACBD交點(diǎn),

(I)證明:平面平面;

(II)若 三棱錐的體積為,求該三棱錐的側(cè)面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】不等式組 的解集記為D,命題p:(x,y)∈D,x+2y≥5,命題q:(x,y)∈D,2x﹣y<2,則下列命題為真命題的是(
A.p
B.q
C.p∨(q)
D.(p)∨q

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知圓的圓心在軸上,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),

(Ⅰ)求線段AB的垂直平分線方程;

(Ⅱ)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅲ)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn),且,求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】近年來(lái),共享單車已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活,并慢慢改變了人們的出行方式.為了更好地服務(wù)民眾,某共享單車公司在其官方中設(shè)置了用戶評(píng)價(jià)反饋系統(tǒng),以了解用戶對(duì)車輛狀況和優(yōu)惠活動(dòng)的評(píng)價(jià).現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出條較為詳細(xì)的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),車輛狀況的優(yōu)惠活動(dòng)評(píng)價(jià)的列聯(lián)表如下:

對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)

對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)不滿意

合計(jì)

對(duì)車輛狀況好評(píng)

對(duì)車輛狀況不滿意

合計(jì)

(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與車輛狀況好評(píng)之間有關(guān)系?

(2)為了回饋用戶,公司通過(guò)向用戶隨機(jī)派送每張面額為元,元,元的 三種騎行券.用戶每次使用掃碼用車后,都可獲得一張騎行券.用戶騎行一次獲得元券,獲得元券的概率分別是,且各次獲取騎行券的結(jié)果相互獨(dú)立.若某用戶一天使用了兩次該公司的共享單車,記該用戶當(dāng)天獲得的騎行券面額之和為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):

參考公式:,其中.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案