Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

2x-b

2x+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）利用定義判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意t∈[0，1]，不等式f（2t²+kt）+f（k-t²）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，利用f（0）=0且f（-1）=-f（1），列出關(guān)于a、b的方程組并解之得a=b=1；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，任取實(shí)數(shù)x₁、x₂，通過作差因式分解可證出：當(dāng)x₁＜x₂時，f（x₁）-f（x₂）＜0，即得函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將不等式f（2t²+kt）+f（k-t²）＞0轉(zhuǎn)化為：k＞-

t2

t+1

對任意的t∈[0，1]都成立，再設(shè)y=-

t2

t+1

求出導(dǎo)函數(shù)，化簡后判斷符號，判斷出函數(shù)在[0，1]上的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即

1-b

1+a

=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1），即

2-1-1

2-1+a

=-

2 -1

2 +a

，解之得a=1，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a=1且b=1時，f(x)=

2x-1

2x+1

滿足f（-x）=-f（x）是奇函數(shù)，
（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

，任取實(shí)數(shù)x₁、x₂，且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，可得2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；  
（3）根據(jù)（1）（2）知，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．
∴不等式f（2t²+kt）+f（k-t²）＞0對任意t∈[0，1]恒成立，
即f（2t²+kt）＞-f（k-t²）=f（t²-k），
∴2t²+kt＞t²-k對任意t∈[0，1]都成立．
即t²+kt+k＞0，變量分離得k＞-

t2

t+1

對任意t∈[0，1]都成立，
設(shè)y=-

t2

t+1

，則y′=

(-t2)′(t+1)-(-t2)(t+1)′

(t+1)2

=

-2t(t+1)+t2

(t+1)2

=

-t2-2t

(t+1)2

＜0，
∴y=-

t2

t+1

在[0，1]上遞減，則函數(shù)的最大值是0，
綜上得，k＞0，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是：k＞0．

點(diǎn)評：本題以含有指數(shù)式的分式函數(shù)為載體，研究了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性綜合應(yīng)用，以及恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和分離常數(shù)法，屬于中檔題．