Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，∠ABC=120°，Q是AC上的點(diǎn)，AB₁∥平面BC₁Q．
（Ⅰ）確定點(diǎn)Q在AC上的位置；
（Ⅱ）若QC₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為，求二面角Q-BC₁-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接B₁C交BC₁于點(diǎn)P，連接PQ．利用線面平行的性質(zhì)定理及直線AB₁∥平面BC₁Q，可得AB₁∥PQ．再利用線線平行的性質(zhì)定理及P為B₁C的中點(diǎn)即可得到Q為AC的中點(diǎn)．
（II）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=BC=a，BB₁=b，利用斜線的方向向量與法向量的夾角及兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出．
解答：解：（Ⅰ）連接B₁C交BC₁于點(diǎn)P，連接PQ．
因?yàn)橹本�AB₁∥平面BC₁Q，AB₁?平面AB₁C，平面BC₁Q∩平面AB₁C=PQ，
所以AB₁∥PQ．
因?yàn)镻為B₁C的中點(diǎn)，且AB₁∥PQ，
所以，Q為AC的中點(diǎn)．
（II）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=BC=a，BB₁=b，則平面BC₁C的法向量．
B（0，0，0），C₁（0，a，b），，
∴，=．
∵QC₁與平面BC₁C所成角的正弦值為，
∴==，化為3a²=4b²，取．
設(shè)平面C₁BQ的法向量為，則，即，及．
令x=1，解得，z=2，∴．
∴===．
故二面角Q-BC₁-C的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面平行的性質(zhì)定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量求二面角的余弦值及線面角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．