Question

設(shè)P是橢圓

x2

a2

+y2=1   (a＞1)短軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析：依題意可知|PQ|=

x2+(y-1)2

，因?yàn)镼在橢圓上，所以x²=a²（1-y²），|PQ|²=a²（1-y²）+y²-2y+1=（1-a²）y²-2y+1+a²
=（1-a²）（y-

1

1-a2

）²-

1

1-a2

+1+a²．由此分類討論進(jìn)行求解．

解答：解：由已知得到P（0，1）或P（0，-1）
由于對(duì)稱性，不妨取P（0，1）
設(shè)Q（x，y）是橢圓上的任一點(diǎn)，
則|PQ|=

x2+(y-1)2

，①
又因?yàn)镼在橢圓上，
所以，x²=a²（1-y²），
|PQ|²=a²（1-y²）+y²-2y+1=（1-a²）y²-2y+1+a²
=（1-a²）（y-

1

1-a2

）²-

1

1-a2

+1+a²．②
因?yàn)閨y|≤1，a＞1，若a≥

2

，則|

1

1-a2

|≤1，
所以如果它包括對(duì)稱軸的x的取值，那么就是頂點(diǎn)上取得最大值，
即當(dāng)-1≤

1

1-a2

≤1時(shí)，
在y=

1

1-a2

時(shí)，|PQ|取最大值

a2 a2-1

a2-1

；
如果對(duì)稱軸不在y的取值范圍內(nèi)的話，那么根據(jù)圖象給出的單調(diào)性來(lái)求解．
即當(dāng)

1

1-a2

＜-1時(shí)，則當(dāng)y=-1時(shí)，|PQ|取最大值2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，細(xì)心計(jì)算．