如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．
分析：（Ⅰ）利用線面垂直的性質，可得線線垂直，再利用線面垂直的判定，即可證明BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面PCD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標系，

則AD=4，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，4，0），P（0，0，4）
∴
AC
=（2，1，0），
PC
=（2，1，-4），
PD
=（0，4，-4）
令平面PCD的法向量為
n
=（x，y，z），則
由
n
•
PC
=0
n
•
PD
=0
，可得
2x+y-4z=0
4y-4z=0

令z=1，可得
n
=（
3
2
，1，1），
∴直線AC與平面PCD所成角的正弦值為|cos＜
AC
，
n
＞|=
AC
•
n
|
AC
||
n
|
=
8
85
85
．
點評：本題考查線面垂直的性質與判定，考查線面角，考查學生分析夾角問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，
求證：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點E是BC邊上的中點．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
8
3
3
；①求VP-ABED； ②求二面角P-AB-C大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，AB=2，AP=2．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點M，N分別在PD，PC上，
PN
=
1
2
NC
，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

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