Question

已知為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，記點(diǎn)P的軌跡為曲線г．
（Ⅰ）求曲線г的方程；
（Ⅱ）判斷原點(diǎn)O關(guān)于直線x+y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)R是否在曲線г包圍的范圍內(nèi)？說明理由．
（說明：點(diǎn)在曲線г包圍的范圍內(nèi)是指點(diǎn)在曲線г上或點(diǎn)在曲線г包圍的封閉圖形的內(nèi)部．）
（Ⅲ）設(shè)Q是曲線г上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線l 交 x 軸于點(diǎn)F（-1，0），交 y 軸于點(diǎn)M，若，求直線l 的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意利用橢圓的定義即可得出；
（II）解法一：利用軸對(duì)稱（垂直平分）的知識(shí)可求出：原點(diǎn)O關(guān)于直線x+y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為R（m，n），再判斷是否成立即可．
解法二：同解法一求出點(diǎn)R（m，n），進(jìn)而得到直線OR的方程，與橢圓方程聯(lián)立即可得出交點(diǎn)G，H．判斷點(diǎn)R是否在在線段GH上即可．
（III）由已知可得直線l的方程，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由Q，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，及，即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得到直線l的斜率．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知，點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之和為定值4，
所以點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓．
又，所以．
故所求方程為．
（Ⅱ）解法一：設(shè)原點(diǎn)O關(guān)于直線x+y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為R（m，n），
由點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得：，解得即R（1，1）．
此時(shí)，∴R在曲線г包圍的范圍內(nèi)．
解法二：設(shè)原點(diǎn)O關(guān)于直線x+y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為R（m，n），
由點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得：，解得即R（1，1），
∴直線OR的方程：y=x
設(shè)直線OR交橢圓于G和H，
由得：或即，．
顯然點(diǎn)R在線段GH上．∴點(diǎn)R在曲線г包圍的范圍內(nèi)．
（Ⅲ）由題意知直線l 的斜率存在，設(shè)直線l 的斜率為k，直線l 的方程為y=k（x+1）．
則有M（0，k），設(shè)Q（x₁，y₁），由于Q，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，且，
根據(jù)題意，得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁），解得．
又點(diǎn)Q在橢圓上，所以．
解得k=0，k=±4．
綜上，直線l 的斜率為k=0，k=±4．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、軸對(duì)稱性質(zhì)、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、向量關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計(jì)算能力．