Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，直線x+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{3}$=0與以橢圓C的右焦點(diǎn)F為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)定點(diǎn)D（0，2），且斜率為k的直線l與橢圓C相當(dāng)于M、N兩點(diǎn)
①若線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求直線l的方程；
②若點(diǎn)F在以MN為直徑的圓內(nèi)部，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知，圓的方程為（x-c）²+y²=b²，c=$\sqrt{3}$b，圓心到直線x+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{3}$=0的距離$\frac{|c-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$=b，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）①設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求出k，即可求直線l的方程；
②若點(diǎn)F在以MN為直徑的圓內(nèi)部，$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}＜0$，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意知，圓的方程為（x-c）²+y²=b²，c=$\sqrt{3}$b，
∴圓心到直線x+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{3}$=0的距離$\frac{|c-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$=b，
∴b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴a=2，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∵△=（16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$
x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$
①∵線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$=2，
∴k=$\frac{-2±\sqrt{3}}{2}$，
∵k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴k=$\frac{-2+\sqrt{3}}{2}$，
∴直線l的方程y=$\frac{-2+\sqrt{3}}{2}$x+2；
②若點(diǎn)F在以MN為直徑的圓內(nèi)部，則$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}＜0$，
∴（x₁-$\sqrt{3}$，y₁）•（x₂-$\sqrt{3}$，y₂）=（x₁-$\sqrt{3}$）（x₂-$\sqrt{3}$）+y₁y₂＜0
∵y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∴（1+k²）x₁x₂+（2k-$\sqrt{3}$）（x₁+x₂）+7＜0
∴（1+k²）$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$+（2k-$\sqrt{3}$）（-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$）+7＜0
∴$\frac{-4\sqrt{3}-\sqrt{10}}{4}$＜k＜$\frac{-4\sqrt{3}+\sqrt{10}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．