Question

下列關(guān)于曲線5x²y²+y⁴=1的描述中：①該曲線是封閉曲線 ②圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱③曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離為

2 5

5

正確的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：把方程化為 y²（5x²+y²）=1，由 y≠0 知曲線不是封閉曲線．把曲線方程中的（x，y ）同時(shí)換成（-x，-y ），方程不變，故曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．令 t=x²+y²，由基本不等式求得t 的最小值，即可求得曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

t

 的最小值．

解答：解：曲線5x²y²+y⁴=1 即 y²（5x²+y²）=1，顯然，y≠0．故表示的曲線不是封閉曲線，故①不正確．
把曲線方程中的（x，y ）同時(shí)換成（-x，-y ），方程不變，故曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故②正確．
令 t=x²+y²，則 x²=t-y²，代入5x²y²+y⁴=1
化簡(jiǎn)得t=

1+4y4

5y2

=

1

5y2

+

4y2

5

≥2

1 5y2 • 4y2 5

=

4

5

，
故t 的最小值等于

4

5

．
∴曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

t

 的最小值為

2 5

5

，故③正確．
故答案為  ②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查方程所表示的曲線，曲線的對(duì)稱性，兩點(diǎn)間的距離公式，基本不等式的應(yīng)用，求曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離
是解題的難點(diǎn)．