Question

3．如圖，△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90°，D、E分別是邊AC和AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使平面ADE⊥平面DEBC，H是邊AD的中點(diǎn)，平面BCH與AE交于點(diǎn)I．
（I）求證：IH∥BC；
（Ⅱ）求多面體HIBCDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明ED∥平面BCH，ED∥HI，然后利用平行公理證明IH∥BC．
（Ⅱ）作IM⊥DE，垂足為M，作MN∥DC，交BC于N，則M是DE的中點(diǎn)，利用多面體HIBCDE的體積=V_DHC-MIN+V_I-EMNB，即可求解體積．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)镈、E分別是邊AC和AB的中點(diǎn)，
所以ED∥BC，
因?yàn)锽C?平面BCH，ED?平面BCH，
所以ED∥平面BCH
因?yàn)镋D?平面BCH，ED?平面AED，平面BCH∩平面AED=HI
所以ED∥HI
又因?yàn)镋D∥BC，
所以IH∥BC．
（Ⅱ）解：作IM⊥DE，垂足為M，作MN∥DC，交BC于N，則M是DE的中點(diǎn)，
∴多面體HIBCDE的體積=V_DHC-MIN+V_I-EMNB=$\frac{1}{2}×2×1×1$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+3）×2×1$=1+$\frac{4}{3}$=$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用．考查空間想象能力以及計(jì)算能力．