Question

19．已知數(shù)列{a_n}的各項均不為0，其前n和為S_n，且滿足a₁=a，2S_n=a_na_n+1．
（Ⅰ）求a₂的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若a=-9，求S_n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2S_n=a_na_n+1，可得2a₁=a₁a₂，又a₁=a≠0，即可得出a₂．
（Ⅱ）由2S_n=a_na_n+1，可得a_n+1-a_n-1=2，于是數(shù)列{a_2k-1}，{a_2k}都是公差為2的等差數(shù)列，即可得出．
（Ⅲ）當(dāng)a=-9時，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n-10，n為奇數(shù)}\\{n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，利用2S_n=a_na_n+1，可得S_n，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵2S_n=a_na_n+1，∴2S₁=a₁a₂，即2a₁=a₁a₂，
∵a₁=a≠0，∴a₂=2．
（Ⅱ）∵2S_n=a_na_n+1，∴當(dāng)n≥2時，2S_n-1=a_n-1a_n，
兩式相減得到：2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_2k-1}，{a_2k}都是公差為2的等差數(shù)列，
當(dāng)n=2k-1時，a_n=a₁+2（k-1）=a+2k-2=a+n-1，
當(dāng)n=2k時，a_n=2+2（k-1）=2k=n，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n為奇數(shù)}\\{n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（Ⅲ）當(dāng)a=-9時，
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n-10，n為奇數(shù)}\\{n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∵2S_n=a_na_n+1，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n-1）（n+1），n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{2}n（n-9），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n的最小值為S₅=-15；
當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n的最小值為S₄=-10，
所以當(dāng)n=5時，S_n取得最小值為-15．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．