Question

13．設(shè)x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，a²+b=4，則$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值為2．

Answer 1

分析 由題意和對數(shù)的運(yùn)算可得$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=log₂a²b，由4=a²+b和基本不等式可得a²b≤4，可得答案．

解答 解：∵a＞1，b＞1，且a^x=b^y=2，
∴x=log_a2，y=log_b2，
∴$\frac{1}{x}$=log₂a，$\frac{1}{y}$=log₂b，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=log₂a²b，
又4=a²+b≥2$\sqrt{{a}^{2}b}$，
∴a²b≤4，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=log₂a²b≤log₂4=2，
當(dāng)且僅當(dāng)a²=b即a=$\sqrt{2}$且b=2時(shí)取等號，
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值，涉及對數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．