Question

10．小王大學(xué)畢業(yè)后進行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本3萬元，每生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，需另投入流動成本為W（x）萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W（x）=$\frac{{x}^{2}}{3}$+x（萬元）；在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W（x）=6x+$\frac{100}{x}$-38（萬元），每件產(chǎn)品售價5元，通過市場分析，小王當(dāng)年生產(chǎn)的產(chǎn)品能在當(dāng)年全部售完，
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x萬件的函數(shù)關(guān)系式
（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)年利潤=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0＜x＜8和當(dāng)x≥8兩種情況得到L與x的分段函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)0＜x＜8時根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來求L的最大值，當(dāng)x≥8時，利用基本不等式來求L的最大值，最后綜合即可．

解答 解：（1）因為每件產(chǎn)品售價為5元，則x（萬件）商品銷售收入為5x萬元，
依題意得：
當(dāng)0＜x＜8時，L（x）=5x-（$\frac{1}{3}$x²+x）-3=-$\frac{1}{3}$x²+4x-3，
當(dāng)x≥8時，L（x）=5x-（6x+$\frac{100}{x}$-38）-3=35-（x+$\frac{100}{x}$），
∴L（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{x}^{2}+4x-3，}&{0＜x＜8}\\{35-（x+\frac{100}{x}），}&{x≥8}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)0＜x＜8時，L（x）=-$\frac{1}{3}$（x-6）²+9，
此時，當(dāng)x=6時L（x）取得最大值9；
當(dāng)x≥8時，L（x）=35-（x+$\frac{100}{x}$）
≤35-2$\sqrt{x•\frac{100}{x}}$=15（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{100}{x}$即x=10時取等號），
此時，當(dāng)x=10時L（x）取得最大值15；
∵9＜15，
∴年產(chǎn)量為10萬件時，這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤是15萬元．

點評 考查學(xué)生根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)類型的能力，以及運用基本不等式求最值的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．