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在數列{an}(n∈N*)中,已知a1=1,a2k=-ak,a2k1=(-1)k+1ak,k∈N*. 記數列{an}的前n項和為Sn.

(1)求S5S7的值;

(2)求證:對任意n∈N*,Sn≥0.

 

【答案】

(1) S5=3,S7=1.

(2)根據已知的遞推關系,然后結合整體的思想來分析得到,然后運用數學歸納法加以證明。

【解析】

試題分析:解:(1)根據題意, 由于a1=1,a2k=-ak,a2k1=(-1)k+1ak

故有 故可知S5=3,S7=1.        2分

(2)由題設的定義可知,對于每個正整數k,有

.                                                

.                                              ②       4分

,③

.                     ④       6分

下面證明對于所有的n≥1,Sn≥0.

對于k,用數學歸納法予以證明.

i=1,2,3,4,即k=0時,S1=1,S2=0, S3=1, S4=2.

假設對于所有的i≤4k,Si≥0,則由①、②、③、④知,

S4k+4=2Sk+1≥0,

S4k+2S4k≥0,

S4k+3S4k+2a4k+3S4k+2a4k+4S4k+2+(S4k+4S4k+3),S4k+3≥0.

接下來證明:S4k+1≥0.

k是奇數,則S4k=2Sk≥2.

因為k是奇數,所以由題設知數列的各項均為奇數,可知Sk也是一個奇數. 于是

S4k≥2. 因此,S4k+1S4ka4k+1≥1.

k是偶數,則a4k+1a2k+1ak+1. 所以S4k+1S4ka4k+1=2Skak+1SkSk1≥0.

綜上,對于所有的n≥1,Sn≥0.                                     10分

考點:數列的遞推關系的運用

點評:解題的關鍵是通過具體的例子歸納猜想結論,結合數學歸納法加以證明,屬于中檔題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}是等比數列,其首項a1=1,公比為2;數列{bn}是等差數列,其首項b1=1,公差為d,且其前n項的和Sn滿足S7=14S2;
(I)求數列{an+bn}的前n項的和Tn
(II)在數列{an}(n=1,2,3,4)中任取一項ai,在數列{bn}(1,2,3,4)中任取一項bk,試求滿足ai2+bi2≤81的概率.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在數列an中,a1=1,an+1=1-
1
4an
,bn=
1
2an-1
,其中n∈N*
(1)求證:數列bn為等差數列;
(2)設cn=2bn,試問數列cn中是否存在三項,它們可以構成等差數列?若存在,求出這三項;若不存在,說明理由.
(3)已知當n∈N*且n≥6時,(1-
m
n+3
)n<(
1
2
)m
,其中m=1,2,…n,求滿足等式3n+4n+…+(n+2)n=(bn+3)bn的所有n的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

若在數列{an}中,對任意n∈N+,都有
an+2-an+1
an+1-an
=k
(k為常數),則稱{an}為“等差比數列”.下列是對“等差比數列”的判斷:
①k不可能為0
②等差數列一定是等差比數列
③等比數列一定是等差比數列
④若an=-3n+2,則數列{an}是等差比數列;
其中正確的判斷是( 。

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科目:高中數學 來源:2010年廣東省廣州市越秀區(qū)高考數學一輪雙基小題練習(05)(解析版) 題型:解答題

已知數列{an}是等比數列,其首項a1=1,公比為2;數列{bn}是等差數列,其首項b1=1,公差為d,且其前n項的和Sn滿足S7=14S2;
(I)求數列{an+bn}的前n項的和Tn;
(II)在數列{an}(n=1,2,3,4)中任取一項ai,在數列{bn}(1,2,3,4)中任取一項bk,試求滿足ai2+bi2≤81的概率.

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