Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率e=

2

2

，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）又已知點(diǎn)A為拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，直線FA與橢圓C的交點(diǎn)B在y軸的左側(cè)，且滿足

AB

=2

FA

，求p的最大值．

Answer 1

分析：（1）首先由離心率得出

c

a

=

2

2

，然后根據(jù)右焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離d=c+

a2

c

=3，就可以求出橢圓方程；
（2）先設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)

AB

=2

FA

，表示出A點(diǎn)坐標(biāo)，并代入拋物線方程得出12p=

2- x 2 0

x0+2

，再令t=x₀+2，用的含p式子表示p，

解答：解：（1）∵

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

．①
而右焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離d=c+

a2

c

=3．②
由①②解得a=

2

，c=1，從而b=1．
從而所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1（6分）
（2）橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)B在橢圓

x2

2

+y2=1（x＜0）上．
設(shè)B（x₀，y₀），其中-

2

≤x0＜0，
由

AB

=2

FA

，知xA=

x0+2

3

，yA=

y0

3

．
由點(diǎn)A在拋物線y²=2px上，得

y 2 0

9

=2p•

x0+2

3

．
又

y

2 0

=1-

x 2 0

2

，∴12p=

2- x 2 0

x0+2

．令t=x₀+2，則2-

2

≤t＜2．
即12p=

-t2+4t-2

t

=-(t+

2

t

-4)．
∵2-

2

≤t＜2，
∴t+

2

t

≥2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

時(shí)取“=”）．
∴p≤

1

3

-

2

6

．
又當(dāng)t=

2

時(shí)，x0=

2

-2為橢圓在y軸左側(cè)上的點(diǎn)．
故p的最大值為

1

3

-

2

6

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及橢圓與拋物線的綜合，巧用a+b≥2

ab

是解決（2）問(wèn)的關(guān)鍵，屬于中檔題．