Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{7}{6}$，S_n是 {a_n}的前n項和，點（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{3}$的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若c_n=（a_n-$\frac{2}{3}$）n，T_n為c_n的前n項和，n∈N^*，求Tn．

Answer 1

分析 （1）點（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{3}$的圖象上．可得S_n+1=$\frac{1}{2}（2{S}_{n}+{a}_{n}）$+$\frac{1}{3}$，化為a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$+$\frac{1}{3}$，變形為a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}（{a}_{n}-\frac{2}{3}）$，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）c_n=（a_n-$\frac{2}{3}$）n=$n×\frac{1}{{2}^{n}}$．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）點（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{3}$的圖象上．
∴S_n+1=$\frac{1}{2}（2{S}_{n}+{a}_{n}）$+$\frac{1}{3}$，
化為a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$+$\frac{1}{3}$，變形為a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}（{a}_{n}-\frac{2}{3}）$，
∴數(shù)列$\{{a}_{n}-\frac{2}{3}\}$是等比數(shù)列，首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{2}{3}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$+$\frac{2}{3}$．
（2）c_n=（a_n-$\frac{2}{3}$）n=$n×\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=$1×\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+$3×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$n×\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$2×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$（n-1）×\frac{1}{{2}^{n}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$n×\frac{1}{{2}^{n+1}}$=1-（2+n）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點評 本小題主要考查“錯位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．