Question

設函數f（x）=e^x（lnx-a），e是自然對數的底數，e≈2，718，a∈R為常數．
（1）若y=f（x）在x=1處的切線l的斜率為2e，求a的值；
（2）在（1）的條件下，證明切線l與曲線y=f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）至少有1個公共點；
（3）若[ln2，ln3]是y=f（x）的一個單調區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求出函數的導數，得到方程e（ln1-a+1）=2e，解出即可；
（2）先求出切線l的方程，得到g（e^-4）g（

1

2

）＜0，y=g（x）在（e^-4，

1

2

）內有零點，從而證出結論；
（3）先求出a≤1時，y=f（x）在[ln2，ln3]上單調遞增，再通過比較h（ln2）與h（ln3）的大小，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（lnx-a+

1

x

），
依題意，k=f′（1）=e（ln1-a+1）=2e，解得：a=-1，
（2）由（1）f（1）=e，直線l的方程為y-e=2e（x-1），即y=2ex-e，
作g（x）=f（x）-（2ex-e）=e^x（lnx+1）-2ex+e，
則g（

1

2

）=

e

（1-ln2）＞0，g（e^-4）=-3ee-4-2e^-3+e＜-3+e＜0（用其他適當的數替代e^-4亦可）
因為y=g（x）在（e^-4，

1

2

）上是連續(xù)不斷的曲線，g（e^-4）g（

1

2

）＜0，y=g（x）在（e^-4，

1

2

）內有零點，
而（e^-4，

1

2

）?（0，

1

2

），從而切線l與曲線y=f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）至少有1個公共點；
（3）f′（x）=e^x（lnx-a+

1

x

），[ln2，ln3]是y=f（x）的一個單調區(qū)間當且僅當f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零，由e^x＞0，作h（x）=lnx+

1

x

h′（x）=

1

x

-

1

x2

，由h′（x）=

1

x

-

1

x2

=0得x=1，

x	[ln2，1）	1	（1，ln3]
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	最小值	↗

h（x）在[ln2，ln3]上的最小值為m=1，所以，當且僅當a≤1時，y=f（x）在[ln2，ln3]上單調遞增，
下面比較h（ln2）與h（ln3）的大小
由2³＜3²＜e³，2＜3

2

3

＜e，ln2＜

2

3

ln3＜1以及h（x）在[ln2，1）上單調遞減得h（ln2）＞h（

2

3

ln3），
h（ln2）-h（ln3）＞h（

2

3

ln3）-h（ln3）=ln

2

3

+

1

2ln3

=

1-ln3ln 9 4

2ln3

，
ln3ln

9

4

＜

1

4

（ln3+ln

9

4

）²=

1

4

(ln

27

4

)2＜

1

4

（ln7）²＜

1

4

（lne²）²=1，
∴h（ln2）＞h（ln3），當且僅當a≥lnln2+

1

ln2

時，y=f（x）在[ln2，ln3]上單調遞減，綜上所述，a的取值范圍為（-∞，1]∪[lnln2+

1

ln2

，+∞）．

點評：本題考查了函數的單調性，曲線的切線方程問題，考查導數的應用，是一道綜合題．